Уравнение и интеграл Бернулли. Решение уравнений Эйлера (1.76) приводит к одному из наиболее важных уравнений гидродинамики - уравнению Бернулли. Умножим первое из уравнений Эйлера (1.76) на dx , второе - на dy , третье - на dz , а затем почленно сложим. В результате получим
Проинтегрируем (1.108) вдоль элементарной струйки при следующих допущениях:
Рассмотрим отдельные суммы, входящие в (1.108).
Учитывая, что , , , представим сумму в левой части в виде
, (1.109)
где u - действительная полная скорость в данной точке.
На основании второго и третьего допущений проекции ускорений массовых сил на оси координат составят X=Y= 0, Z=-g. Тогда первая сумма в правой части (1.108) примет вид
Xdx+Ydy+Zdz=-gdz . (1.110)
В силу первого допущения все параметры потока, в том числе и давление, не зависят от времени и являются функциями только координат, т. е. p = p (x,y,z ). Следовательно, выражение в скобках у второго слагаемого в правой части (1.108) является полным дифференциалом давления, т. е.
. (1.111)
Подставляя (1.109), (1.110), (1.111) в (1.108) и собирая все слагаемые в левой части, получим
. (1.112)
Выражение (1.112) называют дифференциальным уравнением Бернулли.
Единица измерения членов уравнения (1.112) - Дж/кг.
Уравнение Бернулли можно представить в других видах, умножив все его члены на ρ ,
(1.113)
или разделив на g
. (1.114)
При этом единицы измерения всех членов уравнения (1.113) - Па, а (1.114) - м.
Проинтегрировав уравнения (1.112) - (1.114), получим выражения
; (1.115)
; (1.116)
. (1.117)
Уравнения (1.115)-(1.117) называются интегралом Бернулли.
Энергетический смысл интеграла Бернулли . Принимая ρ = const, в результате интегрирования уравнения (1.112) получим
Единица измерения всех членов уравнения (1.118), так же как и (1.112) - Дж/кг.
Движущаяся частичка жидкости обладает вполне определенным запасом механической энергии. Если абсолютно твердое тело обладает запасом потенциальной энергии положения в поле сил тяжести и кинетической энергией, то жидкая частичка, как упругое тело, обладает еще и запасом потенциальной энергии состояния. Эта энергия тем больше, чем больше объем жидкости и чем выше давление, и проявляется в том, что, например, нагнетание жидкости в сосуд может привести к разрушению сосуда, а сжатый газ может совершать работу при расширении.
Следовательно, полная механическая энергия жидкой частички Э может быть определена как сумма Э = П п +П с +К , где П п - потенциальная энергия положения в поле сил тяжести; П с - потенциальная энергия состояния; К - кинетическая энергия.
Потенциальная энергия положения может быть подсчитана по общей формуле механики П п =mgz , где m - масса жидкой частички, кг; z - высота ее положения над горизонтальной плоскостью отсчета, м.
Рассмотрим удельную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости. Удельная потенциальная энергия положения составляет 
и в интеграле Бернулли (1.118) представлена первым слагаемым.
Потенциальная энергия состояния вычисляется по формуле П с = pV , где p - давление, Па; V - объем жидкой частички, м 3 .
Удельная потенциальная энергия состояния 
в интеграле Бернулли (1.118) представлена вторым слагаемым.
Кинетическая энергия жидкой частички .
Удельная кинетическая энергия 
в интеграле Бернулли (1.118) представлена третьим слагаемым.
Полная механическая энергия жидкой частички определяется, следовательно, суммой 
, а удельная механическая энергия составит
. (1.119)
Сравнивая (1.118) и (1.119), приходим к энергетическому смыслу интеграла Бернулли: удельная механическая энергия идеальной несжимаемой жидкости остается постоянной вдоль элементарной струйки. Таким образом, интеграл Бернулли выражает собой закон сохранения механической энергии для элементарной струйки, т. е. является энергетическим уравнением.
Из интеграла Бернулли следует также вывод о том, что отдельные составляющие удельной механической энергии могут изменяться, но при этом происходит преобразование одного вида энергии в другой, т. е. уменьшение одного слагаемого обязательно должно сопровождаться увеличением хотя бы одного из двух остальных и наоборот.
Сумма членов интеграла Бернулли (1.115) дает полный запас энергии, которым обладает единица массы (e ), (1.116) - единица объема (p ), (1.117) - единица силы тяжести относительно принятой плоскости сравнения (H ).
Члены , , выражают кинетическую энергию, суммы , , - потенциальную энергию, где gz , ρgz , z - потенциальная энергия положения, а , , - потенциальная энергия состояния соответственно единицы массы, объема, единицы силы тяжести. Можно также сказать, что уравнения (1.116) и (1.117) выражают собой то же, что и уравнение (1.99), но в масштабе и соответственно.
Уравнением (1.115) удобно пользоваться при исследовании движения газа с переменной плотностью, например, в пневмосетях и компрессорах.
Если при движении газа изменения давления незначительны и температура постоянна, то можно считать ρ = const. В этих условиях удобно пользоваться уравнением (1.116), которое примет вид
const. (1.120)
Выражением (1.120) удобно пользоваться при исследовании движения воздуха в вентиляционных сетях и вентиляторах.
При движении капельной жидкости (воды, масла и т. п.), плотность которой постоянна, удобнее всего пользоваться уравнением (1.117), которое для ρ = const примет вид
Уравнение (1.121) применяется при расчетах водопроводов, гидромагистралей, насосов.
Часто употребляется иная запись уравнения (1.117). Обозначая индексом 1 параметры потока в первом по ходу движения жидкости сечении струйки, а индексом 2 - в последующем, можем записать
Геометрический смысл уравнения Бернулли. Все слагаемые уравнения (1.122) имеют размерность длины, поэтому можно говорить о геометрическом смысле уравнения Бернулли: z - геометрическая (геодезическая, нивелирная) высота; - пьезометрическая высота; - скоростная (динамическая) высота; - высота потерь энергии (напора).
Приведем иные названия: z - геометрический напор; - пьезометрический напор; - скоростной напор; - потеря напора; - полный напор.
Рассмотрим поток жидкости в канале, измеряя все слагаемые уравнения Бернулли (1.122) в различных сечениях (Рис. 1.30, показаны замеры лишь для двух сечений 1-1 и 2-2 ). За плоскость отсчета примем произвольную горизонтальную плоскость 0-0 .
Геометрические высоты z легко определяются как расстояние по вертикали от плоскости отсчета до центров тяжести соответствующих сечений. Пьезометрические высоты определяются как высоты поднятия жидкости в пьезометрах, отсчитанные по вертикали от центров тяжести соответствующих сечений. Скоростные высоты определяются как разности уровней жидкости в трубках Пито и пьезометрах, помещенных в соответствующие сечения (необходимо отметить, что для точного измерения величины трубку Пито следует помещать в такую точку сечения, где локальная скорость u равна средней скорости v , что не всегда можно сделать, ибо положение этой точки редко известно).
Высота потерь энергии на участке, ограниченном сечениями 1-1 и 2-2 , определится как разность уровней жидкости в трубках Пито, помещенных в эти сечения.
Если аналогичные измерения выполнить для множества промежуточных сечений и соединить плавной линией верхние мениски жидкости в трубках Пито, то мы получим линию a линией полного напора .
Соединяя плавной линией верхние мениски жидкости в пьезометрах мы получим линию b (см. Рис. 1.30), которую называют пьезометрической линией .
Линию, соединяющую центры тяжести сечений, называют осью потока .
Характер поведения этих линий по длине потока l определяется так называемыми уклонами.
Гидравлическим уклоном называют величину
, (1.123)
определяющую поведение линии полного напора.
Пьезометрический уклон
, (1.124)
определяет поведение пьезометрической линии.
Геометрический (геодезический) уклон
характеризует поведение оси потока.
В практических расчетах чаще используются средние значения уклонов, вычисляемые как отношение разностей соответствующих величин в начале и конце к длине потока.
Так как вдоль по потоку полная энергия его за счет потерь непрерывно уменьшается, то линия полного напора всегда понижается. Гидравлический уклон (1.124) всегда остается положительным.
Пьезометрическая линия может и понижаться, и повышаться. Ее поведение зависит как от потерь напора, так и от характера изменения кинетической энергии. При расширении канала скорость потока и скоростной напор уменьшаются. Если скорость уменьшения скоростного напора окажется выше, чем скорость уменьшения полного напора, то пьезометрическая линия будет подниматься.
Диаграммы напоров. В ряде задач гидравлики целесообразно бывает дать графическое изображение уравнения Бернулли для того или иного канала. Такие графики называют диаграммами напора. Они позволяют очень наглядно анализировать поведение каждого слагаемого в уравнении Бернулли при течении жидкости по каналу. С их помощью удобно также производить некоторые числовые расчеты. Обычно диаграммы строят по результатам конкретных расчетов, откладывая в масштабе для каждого сечения значения напоров. Рассмотрим принцип построения диаграммы.
Рис. 1.31. Диаграмма напоров
|
Пусть из открытого сосуда больших размеров жидкость вытекает в атмосферу по трубе переменного сечения (Рис. 1.31). Выберем в качестве плоскости отсчета произвольную горизонтальную плоскость 0-0. Построение диаграммы начнем с линии полного напора.
Для этого определим полный напор в сечении, совпадающем со свободной поверхностью жидкости в сосуде. Условимся в уравнении Бернулли и при построении пользоваться избыточными давлениями. Тогда на свободной поверхности .
Так как площадь сосуда значительно превосходит площадь сечения трубы, то в соответствии с уравнением расхода скорость жидкости в сосуде будет очень мала по сравнению со скоростью в трубе, а следовательно, можно пренебречь скоростным напором .
Таким образом, полный напор определяется лишь геометрическим напором (на диаграмме он отмечен точкой a ). Полные напоры в последующих сечениях будем оценивать как разность полного напора в предыдущем сечении и потерь напора на участке между этими сечениями
. (1.126)
Забегая несколько вперед, отметим, что различают два вида потерь напора: потери на трение, обусловленные вязкостью жидкости и местные потери, обусловленные резким изменением конфигурации потока, которые в отличие от потерь на трение (путевых) принято считать сосредоточенными в одном сечении потока. Потери на трение тем больше, чем больше длина канала и скорость потока и чем меньше сечение (диаметр) канала.
В сечении 1-1 сразу за входом потока из сосуда в трубу полный напор будет меньше напора в сосуде на величину местных потерь входа. Вычитая из полного напора в сосуде (точка a ) потери входа h 1 , получим точку b , определяющую полный напор в сечении 1-1.
На участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 будут происходить потери напора на трение. Так как труба на этом участке имеет постоянное сечение, то везде на единицу длины приходятся одинаковые потери, т. е. график полного напора будет иметь линейный характер. Вычитая из полного напора в сечении 1-1 величину потерь напора на трение на участке h 2 , получим полный напор в сечении 2-2 (точка с ). Соединив точки b и с прямой линией, получим график полного напора для первого участка трубы.
По аналогии с входом в трубу, вычитая из полного напора в сечении 2-2 (точка с ) местные потери при внезапном расширении потока h 3 , получим полный напор в сечении 3-3 за внезапным расширением (точка d ), вычитая из которого потери на трение на втором участке трубы h 4 , получим полный напор в выходном сечении 4-4 (точка е ).
При соединении точек d и е необходимо учесть, что потери на трение на единицу длины (гидравлический уклон) в начале участка (большие диаметры) будут меньше, чем в конце (малые диаметры). Следовательно, линия полного напора будет направлена выпуклостью вверх. Таким образом, получили линию полного напора abcde .
Перейдем теперь к построению пьезометрической линии. С этой целью из полного напора в каждом сечении будем вычитать скоростной напор, т. к.
. (1.127)
На свободной поверхности жидкости в сосуде скоростной напор равен нулю и пьезометрический напор совпадает с полным (точка а ).
На участке между сечениями 1-1 и 2-2 сечение трубы, скорость и скоростной напор остаются постоянными, и пьезометрическая линия () будет параллельна линии полного напора.
При переходе от сечения 2-2 к сечению 3-3 происходит резкое увеличение сечения, сопровождающееся уменьшением скорости и скоростного напора. Поэтому пьезометрический напор в сечении 3-3 определиться вычитанием из полного напора значительно меньшей величины (отрезок ), чем для сечения 2-2 (отрезок ).
На втором участке трубы сечение постепенно уменьшается, что приводит к постепенному возрастанию скорости и скоростного напора. Следовательно, в каждом последующем сечении из полного напора необходимо вычитать все большую и большую величину. Поэтому пьезометрическая линия непрерывно удаляется от линии полного напора. Заканчивается пьезометрическая линия в точке , совпадающей с центром тяжести выходного сечения 4-4. Это объясняется тем, что в выходном сечении снова действует атмосферное давление и пьезометрический напор по избыточному давлению равен нулю. Полный же напор складывается из геометрического и скоростного.
По аналогии с построением диаграммы напора по заданному профилю потока возможно решение и обратной задачи: построение конфигурации трубопровода по заданным диаграммам напора.
Примеры практического использования уравнения Бернулли . Уравнение Бернулли позволяет получить расчетные формулы для различных случаев движения жидкости и решить многие практические задачи. При этом следует иметь в виду, что оно справедливо только для установившихся потоков с плоскими живыми сечениями.
Для практического использования уравнения Бернулли при решении различных задач проводят два сечения и горизонтальную плоскость - плоскость сравнения. Последнюю, чтобы было меньше неизвестных, проводят через центр тяжести одного или, если это возможно, двух сечений, и тогда z 1 или z 2 (или оба) будут равны нулю. Сечения проводят нормально к направлению движения жидкости, а места их проведения выбирают так, чтобы сечения были плоскими, содержали неизвестные величины, подлежащие определению, и достаточное число известных величин. Обычно такими местами являются свободная поверхность жидкости, вход или выход из трубопровода, места подключения измерительных приборов и пр. Далее для выбранных сечений, которые нумеруются по ходу движения жидкости, записывается уравнение Бернулли, подставляются в него числовые значения величин и вычисляются искомые.
При решении некоторых задач приходится дополнительно использовать условие неразрывности (сплошности) течения и брать более двух сечений.
В уравнение Бернулли подставляются абсолютные давления. Покажем это на простейшем примере (Рис. 1.32). Пусть требуется определить скорость истечения жидкости из резервуара через отверстие в стенке при постоянном напоре (уровень жидкости в резервуаре постоянен).
Проводим сечение 1-1 по уровню жидкости в резервуаре и сечение 2-2 на выходе струи из отверстия. Проводим произвольную горизонтальную плоскость сравнения x0y
. Известными величинами являются z
1 , z
2 (z
1 -z
2 = h
), p
1 = p
2 = p
a (резервуар открыт и истечение происходит в атмосферу). Тогда, пренебрегая незначительными потерями напора при выходе струи из отверстия и принимая коэффициент a
= 1, из уравнения (1.122) находим 
.
Измерение давлений и локальных скоростей. Покоящаяся жидкость не обладает кинетической энергией. Тогда интеграл Бернулли (1.118) примет вид
Обозначив давление на свободной поверхности жидкости p 0 , а ее координату z 0 (Рис. 1.33), уравнению (1.128) можем придать вид
Или . (1.129)
Обозначив глубину погружения точки (например, А
) под свободной поверхностью жидкости через h = z
0 - z
, придадим (1.129) вид .
Последнее является основным уравнением гидростатики (1.26) и было получено ранее решением дифференциальных уравнений равновесия Эйлера.
Введем в точку В (Рис. 1.33) закрытый пьезометр , представляющий собой стеклянную трубку с запаянным верхним концом из которой удален воздух. Под действием давления в точке В жидкость поднимается на некоторую высоту h’ . Для ее вычисления запишем (1.26) для покоящейся жидкости в пьезометре. Так как из него удален воздух, то над жидкостью давление будет равно нулю.
Таким образом, высота поднятия жидкости в пьезометре в некотором масштабе (1:g ) определяет удельную потенциальную энергию состояния жидкости, а выражение (1.131) можно использовать для расчета давления, измеренного с помощью пьезометра. Формула (1.131) определяет способ пересчета давлений, выраженных высотой столба жидкости, в размерные единицы.
Так как (1.26) получена на основании (1.130), то легко видеть, что в какую бы точку данной покоящейся жидкости мы ни помещали пьезометр, сумма координаты z этой точки и высоты подъема жидкости в пьезометре остается постоянной, т. е. верхний мениск жидкости в пьезометре всегда будет находиться на одном и том же уровне. Горизонтальную плоскость a-a (Рис. 1.33), проведенную через верхние мениски жидкости в пьезометрах, называют напорной плоскостью , построенной по абсолютному давлению.
Закрытый пьезометр, как видим, измеряет абсолютное давление в жидкости. Избыточное давление можно измерить с помощью открытого пьезометра , представляющего собой стеклянную трубку, открытую с обоих концов.
Поместим открытый пьезометр (см. Рис. 1.33) в точку , расположенную на той же глубине под свободной поверхностью, что и точка В . Из (1.26) видно, что давления в точках и В будут одинаковы.
Над свободной поверхностью жидкости в пьезометре будет действовать атмосферное давление, поэтому на основании (1.26) можем написать , откуда
, (1.132)
т. е. высота поднятия жидкости в открытом пьезометре в масштабе (1:g ) измеряет ту же удельную потенциальную энергию состояния жидкости, но определенную по избыточному давлению.
Сказанное выше об уровнях жидкости в закрытых пьезометрах справедливо и для открытых, с той лишь разницей, что напорная плоскость по избыточному давлению (см. Рис. 1.33), проведенная через верхние мениски жидкости в открытых пьезометрах, будет расположена ниже плоскости a-a
на высоту 
, в чем нетрудно убедиться с помощью (1.132) и (1.133).
Для измерения локальных скоростей в закрытых каналах, движение жидкости в которых называют напорным, используется трубка Пито-Прандтля, представляющая собой комбинацию трубки Пито и пьезометра (Рис. 1.34), которые обычно объединяются в одну конструкцию.
Трубка Пито-Прандтля вводится в поток таким образом, чтобы открытый конец трубки Пито был направлен перпендикулярно к вектору скорости, а открытый конец пьезометра - по касательной.
Как и в предыдущем случае, для трубки Пито справедливо условие
, (1.133)
только высота h и имеют здесь иной смысл (см. Рис. 1.34).
Поскольку жидкость проскальзывает около входного сечения пьезометра не затормаживаясь, то в нем будет действовать такое же давление, как и в движущейся жидкости, т. е. . Для него на основании (1.70) можем написать (т. к. на свободной поверхности жидкости в пьезометре действует атмосферное давление, как и в трубке Пито) уравнение
но в данном случае представляет собой высоту поднятия жидкости в пьезометре.
Выражение (1.134), справедливое и в рассматриваемом случае, после подстановки и приведет опять-таки к (1.135), а для практических расчетов необходимо писать
где с = 1,01…1,05; h - разность уровней жидкости в трубке Пито и пьезометре.
Измерение расхода. Трубка Пито-Прандтля служит для измерения локальных скоростей движения. В том случае, если известно живое сечение потока, расход может быть рассчитан по уравнению (1.26). Существуют приборы для непосредственного измерения расхода. Большое распространение в практике нашли расходомер Вентури и нормальная диафрагма (шайба).
Расходомер Вентури.
Большим преимуществом этого прибора является простота конструкции и отсутствие каких-либо движущихся частей. Он может быть расположен горизонтально, вертикально и под любым углом, что принципиального значения не имеет. Рассмотрим расходомер с горизонтальной осью (Рис. 1.35).
Он состоит из двух цилиндрических труб А и В диаметром d 1 , соединенных посредством двух конических участков (патрубков) C и D с цилиндрической вставкой Е меньшего диаметра d 2 . В сечениях 1-1 и 2-2 к расходомеру присоединены пьезометры а и b , разность уровней жидкости в которых показывает разность давлений в этих сечениях.
Составляя уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 и пренебрегая очень небольшими на малой длине между этими сечениями потерями, получаем
, (1.136)
откуда 
, но и, следовательно, .
1) Система уравнений Навье - Стокса и уравнение неразрывности содержат 6 неизвестных: три компоненты вектора скорости плотность давление и коэффициент вязкости Коэффициент вязкости зависит только от температуры и считается обычно заданной функцией абсолютной температуры Г:
Это уравнение содержит новое седьмое неизвестное - абсолютную температуру Абсолютная температура связана с плотностью и давлением уравнением состояния:
В зависимости от характера среды функция имеет ту или иную структуру. В случае газов условимся уравнение состояния брать в форме Клайперона:
где газовая постоянная; в случае несжимаемой жидкости это уравнение заменяется условием
Итак, мы пришли к системе шести скалярных уравнений [три уравнения Навье - Стокса, уравнение неразрывности, уравнения ], которые содержат 7 неизвестных:
Для того чтобы задача могла быть поставлена, необходимо еще одно уравнение.
Таким замыкающим уравнением является уравнение баланса энергии. Будем следить за некоторой массой жидкости, занимающей объем Закон сохранения энергии утверждает, что изменение энергии этой массы жидкости за единицу времени равно мощности внешних сил, притоку энергии извне и мощности внутренних источников энергии:
Энергия массы жидкости состоит из двух слагаемых: кинетической энергии, т. е. энергии макроскопического движения частиц
Внутренней энергии, т. е. энергии теплового движения молекул газа или жидкости.
Для газов в общем случае выражение имеет довольно сложную структуру. Мы рассмотрим только случай «совершенного газа», т. е. газа, внутренняя энергия которого определяется только поступательным движением молекул. Это значит, что энергия вращательных степеней свободы молекул пренебрежимо мала по сравнению с энергией поступательного движения. Для этого случая термодинамика дает выражение
где теплоемкость газа при постоянном объеме, связанная с теплоемкостью при постоянном давлении формулой
величина «механический эквивалент тепла» Работа внешних сил складывается из работы массовых сил и работы поверхностных сил
где скорость движения жидких частиц, поверхность, ограничивающая объем
Будем считать, что приток энергии извне происходит только за счет теплопроводности. Тогда, согласно закону Фурье, количество теплоты, поступившее через поверхность в единицу времени (в механических единицах), определяется формулой
где коэффициент теплопроводности.
Подставляя в уравнение (35 выражения (36, (37) и (39) -(41), мы можем написать следующее (упрощенное) уравнение баланса энергии:
3) Уравнение - это уравнение баланса энергии в интегральной форме; для того чтобы получить дифференциальное уравнение, надо еще провести ряд преобразований. Прежде всего, заметим, что
(Эти преобразования являются прямым следствием уравнения неразрывности Далее преобразуем интегралы по поверхности, входящие в правую часть уравнения , в интегралы по объему. Прежде всего
Применив к этому интегралу формулу Гаусса - Остроградского, после очевидных вычислений получим
Аналогично преобразуем последнее слагаемое в уравнении
Используя формулы , преобразуем уравнение к виду
откуда, в силу произвольности объема получим следующее дифференциальное уравнение:
4) В уравнении (47) надо заменить компоненты тензора напряжений следующими выражениями:
Используя эти формулы и тождественное преобразование
где мы можем уравнению придать следующий вид:
5) Итак, мы получили уравнение, которое замыкает систему уравнений динамики жидкости и газа. Это уравнение можно было бы назвать обобщенным уравнением теплопроводности, поскольку уравнение распространения тепла содержится в нем как некоторый частный случай. В самом деле, предположим, что жидкость покоится; тогда уравнение (49) будет иметь вид
Если перепад температур мал, то коэффициент к можно считать независимым от координат и мы приходим к известному уравнению теплопроводности
где коэффициент носит название коэффициента температуропроводности.
Уравнение (50) описывает распространение тепла в покоящейся жидкости за счет механизма теплопроводности. Этот механизм обеспечивает мгновенную скорость распространения тепловых возмущений (см. рис. 5). Предположим, что частице жидкости, находящейся в момент времени в точке х, мы сообщили импульсное возмущение где - дельта-функция, равная нулю всюду, кроме точки и такая, что Тогда распределение температуры в любой момент времени описывается формулой
Мы видим, что каково бы ни было значение абсциссы в любой момент отличный от нуля, температура будет также отлична от нуля.
6) Рассуждения, которые были здесь проведены, относились к случаю покоящейся жидкости, причем молчаливо предполагалось, что если в начальный момент жидкость покоилась, то она будет покоиться и в последующие моменты времени. Это, вообще говоря, не так. В самом деле, если температура изменится, то, согласно уравнению состояния, изменятся плотность и давление, что в свою очередь вызовет движение жидкости. Таким образом, изменение температуры среды вызывает движение жидкости. Задачи распространения тепла и задачу о движении жидкости следует рассматривать совместно. Только в одном частном случае эти задачи могут быть разделены - в случае несжимаемой жидкости при предположении, что коэффициент вязкости не зависит от температуры. Тогда и задача о движении жидкости сводится к решению уравнения неразрывности
и уравнения Навье-Стокса
Определив из этих уравнений вектор и скаляр мы затем сможем определить поле температур из уравнения , которое в этом случае примет вид
7) Из уравнения (54) видно, что, помимо механизма теплопроводности, в распространении тепла играет роль конвективный перенос тепла - перенос за счет движения частиц жидкости. Поэтому тепловые возмущения могут распространяться также и внутри жидкости, лишенной теплопроводности Для того чтобы это пояснить, рассмотрим задачу о движении идеального нетеплопроводного газа, когда уравнение (49) принимает вид
Уравнение движения можно использовать для описания взаимопревращения форм энергии текущей в данном месте жидкости .
где т - нормальное напряжение от сил трения в вязкой жидкости.
Составим уравнение, подобное по форме уравнению (2.49) раздела
2.7, но введем в него скалярную величину, обусловленную локальной скоростью со:
Это скалярное уравнение описывает скорость изменения кинетической энергии на единицу массы (со 1 1 2) для элемента жидкости, перемещающегося вниз по потоку.
Перепишем это уравнение в форме, более удобной для его дальнейшего исследования: представим субстанциальную производную в символах dldt путем использования уравнения сплошности (см. раздел 2.5); каждый из членов, описывающих действие давления и вязкости, разделим на два. Все члены в результирующем уравнении запишем для неподвижного элемента объема, через который протекает жидкость:
Левая часть уравнения представляет скорость возрастания кинетической энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода кинетической энергии посредством потока массы; производства работы давлением окружающей среды на объем элемента; обратимого превращения работы сил давления во внутреннюю энергию; производства работы вязкостными силами на объем элемента; необратимого превращения работы сил вязкого трения во внутреннюю энергию; производства работы гравитационными силами на объем элемента.
Физический смысл членов р(у со) и (r:V
Отметим, что член (-f:V
где i и j берут по величине х, у, z, т.е. i, j = х, у, z, а 6и - 1 для / = j и 5^ = 0 для i & j
где Ф 0 - диссипативная функция. Эта функция представляет собой количество теплоты, возникающей в потоке вязкой жидкости за счет необратимой работы сил внутреннего (вязкого) терния, и выражается через градиент скоростей.
Итак, член (г: V#) всегда положительный, а это значит, что во всех потоках жидкости происходит взаимопревращение механической энергии в тепловую и поэтому реальные процессы необратимы. При отсутствии члена (r:V
Явления, которые учитываются членом p(V
Явления, которые учитываются членом (f:V
Системы уравнений сплошности (2.38), движения (2.49) и состояния в форме р = р(р) используются для описания изометрических процессов в текущей жидкости. Если при изменении плотности и давления происходит изменение температуры (неизотермический процесс), то систему уравнений сплошности и движения следует дополнить уравнением состояния в форме F(p,p,T)= 0.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид
В основе уравнения переноса энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим неподвижный элемент объема, через который течет однородная жидкость. Запишем для жидкости, содержащейся внутри выделенного элемента объема в данный момент времени закон сохранения энергии:
В этом уравнении под кинетической энергией понимают энергию видимого движения жидкости (рсо 1 /2 на единицу объема). Под внутренней энергией жидкости понимается сумма внутренней кинетической энергии теплового движения молекул и внутренней потенциальной энергии взаимодействия между молекулами (внутренняя энергия жидкости зависит от ее локальной температуры и плотности). Потенциальная энергия потока не входит в это уравнение в явном виде, она включена в термин «работа». Напишем выражение для отдельных членов, входящих в уравнение
Скорость накопления внутренней и кинетической энергий элементов объемом AxAyAz (рис. 2.4):
где и - внутренняя энергия жидкости на единицу ее массы; со - локальная скорость жидкости.
Результирующая скорость прихода внутренней и кинетической энергий :
Скорость подвода энергии посредством теплопроводности равна
где q x ,q y ,q x - компоненты вектора плотности теплового потока q.
Работа, совершенная элементом объемом Л V против окружающей среды, состоит из двух частей: работы против объемных сил (гравитации); работы против поверхностных сил (давления и сил вязкости).
Напомним, что работа равна произведению силы на путь в направлении действия силы, тогда скорость производства работы равна произведению силы на скорость в направлении действия силы.
Скорость производства работы против трех компонентов гравитационной силы на единицу массы элемента:
Знак минус означает, что работа произведена против сил гравитации, т.е. со и g направлены в противоположные стороны.
Скорость производства работы против статического давления р,
приложенного к шести граням элемента AxAyAz:
Таким же образом найдем скорость производства работы против сил вязкости
Подставим полученные выражения в уравнение (2.56), разделив все члены полученного уравнения на AxAyAz и перейдя к пределу при Ах, Ау и Az, стремящихся к нулю, получим уравнение энергии :
Это уравнение может быть записано в более компактной векторно-тензорной форме:
В левой части уравнения - скорость приращения энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода энергии на единицу объема посредством конвекции; подвода энергии на единицу объема посредством теплопроводности; производства работы над жидкостью на единицу объема гравитационными силами; производства работы над жидкостью на единицу объема силами давления; производства работы над жидкостью на единицу объема силами вязкости.
Преобразуем уравнение энергии с помощью уравнений сплошности (раздел 2.5) и движения (раздел 2.7). Эту операцию произведем таким же образом, как это было сделано при переходе от формы уравнения движения (2.45) к форме (2.48) с помощью уравнения сплошности (2.38).
Произведем дифференцирование левой части уравнения (2.58), для этого перенесем туда конвективную составляющую скорости подвода энергии и после перегруппировки получим:
Первый член в левой части уравнения (2.59) представляет собой субстанциальную производную от (и + со 1 / 2); второй член равен нулю на основании уравнения сплошности (2.38).
Перепишем уравнение (2.59) с учетом сказанного:
Отметим, что полученные здесь две формы уравнения энергии (2.47) и (2.60) корреспондируются с двумя формами уравнения сплошности (2.39), (2.40) и двумя формами уравнения движения (2.47) и (2.49).
Уравнение (2.58) описывает энергетический обмен в жидкости с точки зрения неподвижного наблюдателя, а (2.60) описывает этот обмен, как его наблюдал бы исследователь, двигающийся вместе с потоком.
Уравнение (2.60) есть уравнение обмена, написанное для суммы энергий на единицу массы (и + со 2 / 2).
Уравнение переноса для одного из слагаемых этой суммы было получено ранее (2.53). Перепишем его в следующей форме:
Вычитая уравнение (2.61) из (2.60), получим уравнение обмена для внутренней энергии и в виде:
В левой части уравнения - скорость накопления внутренней энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода внутренней энергии посредством теплопроводности на единицу объема; возрастания внутренней энергии при обратимом сжатии на единицу объема; возрастания внутренней энергии за счет необратимой диссипации на единицу объема.
Уравнение (2.62) называют уравнением тепловой энергии или просто уравнением энергии.
Представим член pDu! Dt в форме pC v DT/Dt (C v - удельная теплоемкость при постоянном объеме); член V q в форме:
где q t =-ЛдТ/дх, q y - -ЛдТ / ду, q x = -ЛдТ /dz член (f: Vco) по уравнению (2.55).
С учетом этих дополнений уравнение (2.62) можно представить в следующей форме:
Большое значение имеют частные случаи уравнения (2.63). Например, для случая, когда коэффициент теплопроводности Л не зависит от температуры, координат и р - const(V 0), уравнение (2.63) примет вид:
для идеального сжимаемого газа
для твердого тела со- 0, поэтому
где а = Л/(р С v) ~ коэффициент температуропроводности; C v = С р - С С - теплоемкость твердого тела.
Или иначе
Это уравнение называют уравнением теплопроводности Фурье.
Для случая, когда температура не изменяется во времени, уравнение (2.64) имеет вид:
Последнее уравнение называют уравнением Лапласа.
Для вывода уравнения изменения энергии какой-либо системы в самом общем виде рассмотрим изолированную систему (ИС), состоящую из рабочего тела (РТ) в цилиндре с подвижным поршнем, источника тепла (ИТ) и окружающей среды, включающей в себя приёмник работы ПР (гиря), поршень (П) и жидкую окружающей среду (ЖОС), например, атмосферу (рис. 2.1), и применим к ней закон сохранения энергии (ЗСЭ):
Е ИС = Е РТ + Е ИТ + Е ОС = const или dЕ РТ + dЕ ИТ + dЕ ОС = 0.
Перепишем последнее уравнение в виде
dЕ = dЕ РТ = - dЕ ИТ - dЕ ОС. (2.2)
Согласно ЗСЭ (2.2) приращение энергии РТ равно убыли энергий ИТ и ОС.
На практике правые части уравнения (2.2) принято рассчитывать не через параметры источника тепла и окружающей среды, а через параметры, характеризующие особенности протекания процессов на границе системы (РТ).
Процессы переноса движения от ИТ к РТ и от РТ к ОС, включающую в себя приёмник работы, имеют различные особенности. Подвод движения от ИТ к РТ происходит в результате взаимодействия молекул газа с молекулами стенок без их макроскопического перемещения, т. е. движение подводится в хаотической форме (ХФ). Процесс подвода движения в хаотической форме принято называть процессом теплообмена (теплообменом).
При взаимодействии молекул газа с подвижным поршнем возникает макроскопическое перемещение поршня, т. е. здесь движение передаётся в упорядоченной форме (УФ). Процесс переноса движения в упорядоченной форме принято называть процессом совершения работы (работой).
Рисунок 2.1 - К выводу уравнения первого закона термодинамики из ЗСЭ
Поскольку энергия (как физическая величина) является мерой движения как содержащегося в системе, так и переданного через границу системы, то, следовательно, мерами движения, переданного в процессах теплообмена (в ХФ) и совершения работы (в УФ), будут соответственно элементарные энергии Е передХФ и Е передУФ, которые принято называть соответственно теплотой Q и работой W":
Q = Е передХФ = - dЕ ИТ и W" = Е передУФ = - dЕ ОС.
С учётом принятых обозначений уравнение ПЗТ (2.2) запишется в виде Здесь для обозначения элементарности величин теплоты Q и работы W использован символ элементарности, а не символ полного дифференциала (полного приращения) d, так как эти величины (в отличие от изменения энергии системы dE) в общем случае не могут быть рассчитаны через параметры системы и, следовательно, должны обозначаться иным символом, чем d.
dЕ = dЕРТ = ЕпередХФ + ЕпередУФ = Q + W". (2.3)
Согласно этому балансовому уравнению энергии полное приращение (изменение) энергии системы равно сумме элементарных энергий, характеризующих движение, переданное через границу системы в процессах теплообмена (в ХФ) и совершения работы (в УФ) (при этом число тел, участвующих в процессах теплообмена и совершения работы, может быть любым).
Итак, теплота и работа - это энергии движения Движение, как уже отмечалось в сноске на странице 8, - это свойство материи, которое может передаваться не только за счёт переноса вещества (перемещения тел) в пространстве, но и при взаимодействии частиц на границах системы без макроскопического переноса вещества., переданного соответственно в процессах теплообмена и совершения работы (в связи с этим их иногда называют энергиями перехода, или энергиями в процессе перехода). Поэтому в качестве единицы До 1961 г., когда была введена Международная система единиц (СИ), в качестве единицы теплоты использовались калория (от лат. calor - тепло, жар) и килокалория, а работы - эрг и килограмм-метр. Потребовались значительные усилия многих учёных, чтобы доказать эквивалентность (сходство) величин “теплота” и “работа” и установить переводной коэффициент для единиц теплоты и работы - механический эквивалент теплоты, - равный 427 кгсм / ккал. До сих пор в литературе встречается единица теплоты килокалория, поэтому укажем связь между этой единицей и килоджоулем: 1 ккал = 4,1868 кДж. теплоты и работы используется единица энергии - джоуль: [Q] = [W] = [E] = 1 Дж.
Следует заметить, что физическая величина теплота используется не только для количественной характеристики движения, переданного в процессе теплообмена, но и для оценки количества диссипированного (то есть превращённого в хаотическое движение) упорядоченного макроскопического движения, что обусловлено необходимостью учёта роста энтропии в таких процессах. Следовательно, при диссипации упорядоченного движения теплота диссипации определяется так же, как и работа - через макроскопические силы и перемещения (например, работа трения)
Выбор знака теплоты и работы. Знак теплоты и работы зависит от направления переноса движения - к системе или от системы (РТ). В соответствии с балансовым уравнением энергии (2.3) знак теплоты и работы должен совпадать со знаком изменения энергии системы: при подводе движения к системе изменение энергии системы положительно, следовательно, и подводимые теплота и работа должны быть положительными величинами, а при отводе движения - отрицательными величинами.
Для теплоты это правило выполняется всегда: подводимая теплота положительна, отводимая отрицательна. Что же касается знака работы, то исторически её знак определялся не из балансового соотношения (2.3), которого тогда не было, а из соображений, что положительна для человека та работа, которую он получает от двигателя, т. е. отводимая работа.
Работу W", знак которой определяется из балансового соотношения (2.3) - по знаку приращения энергии системы, назовём внешней по знаку Здесь понятия внешней W" и внутренней W работ формируется в соответствии с направлением подвода движения, т. е по знаку (W = - W"). Если бы знак работы соответствовал знаку изменения энергии в соотношении (4.3), как для теплоты, то не надо было бы вводить деление на внешнюю и внутреннюю по знаку работы. Так, в учебнике Бэра Г. нет деления работ на внешние и внутренние - там все работы внешние: подводимая к системе работа считается положительной, а отводимая отрицательной. работой (внешней, так как она совершается за счёт убыли внешней энергии - энергии источников работы).
Работу W, знак которой совпадает со знаком убыли энергии системы, назовём внутренней по знаку работой (внутренней, так как она совершается за счёт убыли собственной, внутренней энергии).
Между внутренней и внешней по знаку работами существует очевидная связь:
Уравнение ПЗТ (2.3) для внутренней по знаку работы запишется в виде
Уравнение (2.7) является аналитическим выражением ПЗТ для закрытой термодинамической системы (без обмена веществом с ОС) в самом общем виде и читается так: теплота идёт на изменение энергии системы и на совершение работы. Впервые это уравнение получил Р. Клаузиус в 1850 г.
Внешняя и внутренняя (по месту расчёта) работа и теплота Чаще всего понятие внешней и внутренней работы определяется в соответствии с местом расчёта работы, т. е. в зависимости от выбора границ системы - внешней и внутренней. Внутренняя граница системы включает в себя только одно рабочее тело и совпадает с внутренними поверхностями поршня, крышки и гильзы цилиндра (пунктирная линия на рис. 2.1). Внешняя граница системы включает дополнительно тонкий слой материальной оболочки, охватывающей рабочее тело (штрихпунктирная линия на рис. 2.1).
Тонкий слой оболочки толщиной, соизмеримой с диаметром молекул стенки, обладает малым запасом ВЭ и поэтому влиянием его на изменение ВЭ системы можно пренебречь. Роль тонкого слоя заключается в преобразовании упорядоченного движения поршня в хаотическое (тепловое) движение молекул этого слоя. В результате такого преобразования внешняя (эффективная) работа, отводимая от системы рабочее тело - тонкий слой оболочки (на внешней границе), получается меньше внутренней (индикаторной) работы, совершаемой рабочим телом на внутренней границе системы, на работу трения поршня о гильзу цилиндра (см. рис. 2.1)
Упорядоченное движение поршня, диссипированное в хаотическое движение тонких слоёв поршня и стенки, в результате теплообмена далее отводится к рабочему телу и в окружающую среду. Если стенки адиабатные (например, керамические) или подвод тепла осуществляется с наружной стороны цилиндра (двигатели внешнего сгорания), то всё диссипированное движение (характеризуемое работой трения W тр) возвращается к РТ в виде хаотического движения (характеризуемого теплотой трения Q тр).
Теплота, подводимая на внешней границе системы от источников тепла (или спирали, расположенной внутри газа или внутри материала оболочки) или в результате сгорания топлива внутри рабочего тела, называется внешней теплотой
При сгорании топлива внутри рабочего тела внешняя теплота меньше выделившейся теплоты сгорания на потери тепла в стенки цилиндра
Q e = Q сгор - Q пот.стен. (2.10)
В результате подвода тепла трения рабочее тело получает на внутренней границе полную теплоту, равную сумме внешней теплоты и теплоты трения
В соответствии с выше изложенным уравнение ПЗТ (2.7) для внешней границы системы (для РТ плюс оболочка) запишется в виде
а для внутренней границы системы (для одного РТ) в виде
Если ввести понятие внешней по знаку эффективной работы (положительна при совершении работы над системой) , то уравнение ПЗТ (2.12) можно записать в виде
Каждая из этих эффективных работ может быть представлена в виде суммы различных работ, совершаемых на границе системы,
где N - число различных работ.
Полная энергия единицы массы пласта состоит из отнесенных к единице массы внутренней удельной энергии пород пласта и насыщающих его веществ , удельной потенциальной и кинетической энергии веществ, движущихся в пласте со скоростью . Поэтому
Из закона сохранения энергии или, точнее, из первого начала термодинамики следует, что изменение энергии пласта и произведенной удельной работы равно количеству подведенного к пласту тепла ,умноженного на механический эквивалент тепла , т. е.
или с учетом (3.17)
Дадим количественную оценку входящих в (3.19) величин. Удельная внутренняя энергия пласта при отсутствии в нем химических или ядерных превращений вещества представляет собой тепловую энергию в единице массы пласта, так что
где - удельная теплоемкость пласта; Т - температура. Положим, что пористый пласт насыщен водой. Тогда ( - удельная теплоемкость пород пласта; - удельная теплоемкость воды, - пористость). Пусть = 1,046 кДж/(кг×К), = 4,184 кДж/(кг. К), , . Тогда , =102×1,67×1=170 м. Удельная потенциальная энергия в пластах может изменяться в соответствии с возможными изменениями уровня движущихся в пласте веществ. Обычно это десятки и иногда сотни метров.
где - плотность горных пород; - плотность насыщающих пласт веществ, и умножать все виды удельной энергии, кроме внутренней, на . При , , .
Тогда для изменения удельной кинетической энергии получим
Из приведенной оценки следует, что удельной кинетической энергией движущихся в пласте веществ можно всегда, кроме особых случаев движения веществ в призабойной зоне скважин, пренебречь.
Если изменение удельной потенциальной энергии движущегося в пласте вещества составляет даже 100 м, то при умножении этой величины на получим 10 м. Изменение же температуры пласта всего на один градус равнозначно изменению удельной внутренней энергии почти на 200 м. Если разработка пласта ведется с использованием тепловых методов, то температура пласта может изменяться на сотни градусов и его удельная внутренняя энергия станет преобладающей среди других видов энергии. Оценим возможную величину работы, которую могут производить насыщающие пласт вещества. Удельную работу ,. производимую насыщающим пласт веществом и отнесенную к единице массы вещества, определим следующим образом:
где - давление; - объем вещества, насыщающего пласт в элементарном объеме пласта; - плотность этого вещества; - ускорение свободного падения.
Поровый объем пласта остается, вообще говоря, неизменным, поскольку не изменяются геометрия пласта и его пористость. Работа вещества в пласте связана всегда с его расширением. Поэтому в (3.21) и введена величина , характеризующая расширение вещества. При этом условно можно считать, что вещество, насыщающее пласт, расширяясь, как бы выходит за пределы элементарного объема пласта. Будем считать, что при бесконечно малом расширении вещества в элементарном объеме пласта масса вещества остается неизменной.
Тогда и, следовательно,
Подставляя (3.22) в (3.21) получим
Оценим возможную работу вещества, насыщающего пласт. Очевидно, что наибольшую работу может производить в пласте газ. Для простоты оценки будем считать газ идеальным, для которого , где и - давление и плотность газа при начальных условиях. Отсюда для идеального газа
Пусть при снижении давления , , , ,
Сделанная оценка показывает, что работа вещества, насыщающего пласт, хотя и намного меньше, чем изменение удельной внутренней энергии при тепловых методах разработки нефтяных месторождений, все же при определенных условиях„ как это показывает опыт, может быть значительной.
Рассмотрим вопрос о том, чему равняется входящая в (3.18) и (3.19) величина . Тепловыделение в элементе пласта может происходить за счет экзотермических химических реакций и гидравлического трения и за счет теплопроводности. Уход тепла из элемента пласта за счет теплопроводности в дальнейшем будем учитывать при изменении внутренней энергии пласта . Перенос тепла из пласта в кровлю и подошву будем учитывать соответствующими граничными условиями и поэтому в балансе энергии элементарного объема пласта его не будем принимать во внимание. Энергия движущегося в пористой среде вещества за счет гидравлического трения превращается в тепло. Для мощности гидравлического трения, отнесенной к единице массы движущегося вещества в элементе пласта, имеем следующее выражение:
Допустим, что в пласте движется газ вязкостью со скоростью . Проницаемость пласта , пористость , плотность газа при давлении составляет 100 кг/м 3 . Тогда
В сутки из килограмма движущегося в пласте газа будет выделяться энергии. Это, конечно, незначительная величина. Однако, например, в призабойной зоне скважин скорость фильтрации того же газа может достигать м/с, а иногда и более. Тогда при тех же остальных условиях, что и выше, значение . В сутки из килограмма фильтрующегося в пласте газа выделится энергии почти 9кДж. Таким образом, можно заключить, что наиболее существенное изменение энергии в элементе пласта связано с переносом тепла за счет теплопроводности и конвекции. Определенный вклад в энергетический баланс пласта, особенно при высоких скоростях движения насыщающих его веществ, вносят работа расширения-сжатия веществ и гидравлическое трение.
Напишем уравнение сохранения энергии в пласте, учитывая теплопроводность и конвекцию, а также работу расширения- сжатия веществ и гидравлическое трение.
Рассматривая, как и при выводе уравнения неразрывности массы фильтрующегося в пласте вещества, поток внутренней энергии и энергии сжатия , а также считая, что тепло поступает в элементарный объем только за счет гидравлического трения, т. е. что , получим
Здесь - вектор суммарной скорости теплопереноса в пласте за счет теплопроводности и конвекции, - вектор скорости фильтрации. Выражение (3.26) и есть дифференциальное уравнение сохранения энергии в пласте, выведенное при указанных выше предположениях.
